leon_orr

С представлением "средневековье" в нашем сознании ассоциируется разгул инквизиции, костры, на каковых сжигали ведьм и еретиков, крестовые походы за "телом господним". Наука в те поры явно не была приоритетом. В этих условиях появление книги по математике "Liber abaci" ("Книга об абаке"), написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Пизано Фибоначчи, стало важным событием в научной жизни общества.

Кто же такой Фибоначчи? И почему его математические труды так важны для западно-европейской математики? Чтобы ответить на эти вопросы, нам необходимо воссоздать историческую эпоху, в которую жил и творил Фибоначчи.

Надо заметить, что пора с 11-го по 12-й века была временем блестящего расцвета арабской культуры, но вкупе с тем и началом ее упадка. В конце 11-го столетия, то есть к началу Крестовых походов, арабы были, бесспорно, наиболее просвещенным народом в мире, превосходя в этом отношении своих христианских противников. Еще до Крестовых походов арабское воздействие проникло на Запад. Тем не менее наибольшее проникновение арабской культуры на Запад началось после Крестовых походов, которые обессилили арабский народ, но с другой стороны усилили арабское воздействие на христианский Запад. Не только хлопок и сахар Палестины, перец и черное дерево Египта, самоцветные камни и пряности Индии ищет и ценит христианский Запад в арабском мире. Он начинает разбираться в том культурном наследстве "великого античного Востока", хранителем которого стала арабская культура. Открывшийся мир не мог не ослеплять своими красками и научными достижениями - и все обширнее становится в западном обществе спрос на арабские географические карты, учебники алгебры и астрономии, арабское зодчество.

Одной из ниболее интересных личностей эпохи крестовых походов, вестницы эпохи Возрождения, был император Фридрих Гогенштауфен, ученик сицилийских арабов и обожатель арабской культуры. При его дворе в Пизе жил и работал величайший из европейских математиков средних веков Леонардо Пизано (по прозвищу Фибоначчи, что значит "сын Боначчи").

О бытие Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился предположительно в 1170 г. Его отец был купцом и государственным вельможей, представителем нового класса бизнесменов, порожденных "Коммерческой Революцией". Тогда Пиза была одним из крупнейших коммерческих средоточий, активно сотрудничавших с исламским Востоком, и отец Фибоначчи энергично торговал в одной из факторий, основанных итальянцами на северном побережье Африки. Благодаря этому ему удалось "устроить" своего сына, будущего великого математика Фибоначчи, в одну из арабских школ, где он и смог получить превосходное для того времени математическое образование. Леонардо изучал труды математиков стран ислама (таких как ал-Хорезми и Абу Камил); по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков.

Один из авторитетных историков математики Морис Кантор назвал Фибоначчи "блестящим метеором, промелькнувшим на темном фоне западно-европейского средневековья". Он предполагает, что, возможно, Фибоначчи пал во время одного из Крестовых походов в 1228 г., сопровождая императора Фридриха Гогенштауфена.

Фибоначчи написал несколько математических трудов: "Liber abaci", "Liber quadratorum", "Practica geometriae". Наиболее известным из них является "Liber abaci". Этот труд вышел при жизни Фибоначчи в двух изданиях в 1202 г. и 1228 г. Эта книга содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени, изложенные с исключительной полнотой и глубиной. Первые пять глав книги посвящены арифметике целых чисел на основе десятичной нумерации. В VI и VII главе Леонардо излагает действия над обыкновенными дробями. В VIII–X книгах изложены приёмы решения задач коммерческой арифметики, основанные на пропорциях. В XI главе рассмотрены задачи на смешение. В XII главе приводятся задачи на суммирование рядов — арифметической и геометрической прогрессий, ряда квадратов и, впервые в истории математики, возвратного ряда. В XIII главе излагается правило двух ложных положений и ряд других задач, приводимых к линейным уравнениям. В XIV главе Леонардо на числовых примерах разъясняет способы приближённого извлечения квадратного и кубического корней. Наконец, в XV главе собран ряд задач на применение теоремы Пифагора и большое число примеров на квадратные уравнения. «Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII–XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения.

Отметим, что Фибоначчи задумывал свое сочинение как пособие для купцов, тем не менее по своему значению оно ушло далеко за пределы торговой практики и по сути зарекомендовало себя как своеобразную математическую энциклопедию поры средневековья. С этой точки зрения особый интерес представляет 12-й раздел, где Фибоначчи сформулировал и решил ряд математических задач, представляющих интерес для общих перспектив развития математики. Этот раздел занимает почти треть сочинения и, по всей вероятности, ему Фибоначчи придавал наибольшее значение и в нем проявил наибольшую оригинальность.

Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., именованой впоследствии "рядом Фибоначчи".

Эта последовательность чисел имеет важное значение не только в математике, экономике, техническом анализе и финансах, но также в ботанике, зоологии, физиологии, медицине, искусстве, а также философии, эстетике и многих других сферах практической деятельности человечества.

Вторая задача, рассмотренная Фибоначчи, называется "задачей о поиске наилучшей системы гирь для взвешивания на рычажных весах" или просто "задачей о гирях". В русской историко-математической литературе "задача о гирях" известна под названием "задачи Баше-Менделеева", названной так в честь французского математика 17 в. Баше де Мезириака, который разместил эту задачу в своем "Сборнике приятных и занимательных задач" (1612 г.) и блестящего русского химика Дмитрия Ивановича Менделеева, который интересовался этой задачей будучи директором Главной Палаты мер и весов России.

Сущность "задачи Баше-Менделеева" состоит в следующем: при какой системе гирь, имея их по одной, можно взвесить всевозможные грузы Q от 0 до максимального груза Qmax, чтобы значение максимального груза Qmax было бы наибольшим среди всех возможных вариаций? Известно два варианта решения этой задачи: (1) когда гири позволено класть на свободную чашу весов; (2) когда гири позволяется класть на обе чаши весов. В первом случае "оптимальная система гирь" сводится к двоичной системе гирь: 1, 2, 4, 8, 16, ..., а появляющийся при этом "оптимальный" алгоритм или способ измерения рождает двоичную систему счисления, лежащую в основе современных компьютеров. Во втором случае наилучшей является троичная система гирь: 1, 3, 9, 27, 81, ..., а возникающий при этом способ измерения рождает троичную симметричную систему счисления, которая была применена в троичном компьютере Сетунь, построенном в 50-е годы в МГУ.

Методологическое значение "задачи о гирях" заключается прежде всего в том, что она является одной из первых оптимизационных задач в истории математики. Во-вторых, она касается "проблемы измерения", то есть одной из основополагающих проблем математики. Так же, она связана с проблемой систем счисления, одной из основополагающих проблем современной информатики. Именно развитие этой задачи с указанных точек зрения привело в последние годы к разработке так называемой "алгоритмической теории измерения".

Другая задача интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащи 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Ринда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.

«Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220) содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

В трактате «Цветок» (Flos, 1225) Фибоначчи исследовал кубическое уравнение $x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20$ , предложенное ему Иоанном Палермским на математическом состязании при дворе императора Фридриха II. Сам Иоанн Палермский почти наверняка заимствовал это уравнение из трактата Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры», где оно приводится как пример одного из видов в классификации кубических уравнений. Леонардо Пизанский исследовал это уравнение, показав, что его корень не может быть рациональным или же иметь вид одной из квадратичных иррациональностей, встречающихся в X книге Начал Евклида, а затем нашёл приближённое значение корня в шестидесятеричных дробях, равное 1;22,07,42,33,04,40, не указывая, однако, способа своего решения.

«Книга квадратов» (Liber quadratorum, 1225), содержит ряд задач на решение неопределённых квадратных уравнений. В одной из задач, также предложенной Иоанном Палермским, требовалось найти рациональное квадратное число, которое, будучи увеличено или уменьшено на 5, вновь даёт рациональные квадратные числа.

Фибоначчи был одним из наиболее ярких математических умов в истории западно-европейской математики, однако его вклад в математику незаслуженно занижен. Наиболее ясно значимость математического творчества Фибоначчи для математики выделено математиком проф. А.В. Васильевым в его книге "Целое число" (1919 г.):

"Сочинения ученого пизанского купца были настолько выше уровня математических знаний даже ученых того времени, что их влияние на математическую литературу становится заметным только через два столетия после его смерти в конце 15-го века, когда многие из его теорем и задач вводятся другом Леонардо да Винчи, профессором многих итальянских университетов Лукою Пачиоли в его сочинениях и в начале 16-го века, когда группа талантливых итальянских математиков: Сципион дель Ферро, Иероним Кардано, Тарталия, Феррари решением кубического и биквадратного уравнения положили начало высшей алгебре".

Из этого высказывания следует, что Фибоначчи почти на два столетия опередил западно-европейских математиков, своих современников. Как и Пифагор, который получил свое "научное образование" у египетских и вавилонских жрецов и затем содействовал передаче полученных знаний в греческую науку, Фибоначчи приобрел свое математическое образование в арабских школах и многие из полученных там знаний, в частности, арабо-индусскую десятичную систему счисления, он попробовал ввести в западно-европейскую науку. И сходно Пифагору историческая роль Фибоначчи для западного мира состояла в том, что он своими математическими трудами содействовал передаче математических знаний арабов в западно-европейскую науку и тем самым заложил начала для дальнейшего формирования западно-европейской математики.